В ходе исследования о теории узлов в маломерной топологии мы доказали, что достоверна гипотеза о декоративных перестройках по трехпучковым витым узлам.
Эта гипотеза утверждает, что трехмерные многообразии, полученные от трехмерной сферы с помощью перестроек Дена с разными коэффициентами по данному узлу, топологически различаются. Эта гипотеза пока ещё доказана не для всех узлов.
В своей статье «Heegaard Floer homology and cosmetic surgeries in S3, arXiv:1906.06773 (2019)» Ханселман, используя теорию гомологий Хегора-Флоера, доказал гипотезу о декоративных перестройках по некоторым узлам. На основе результата Ханселмана Стипсиц и Сзабо в статье «Purely cosmetic surgeries and pretzel knots, arXiv:2006.06765 (2020)» доказали эту гипотезу для всех трехпучковых витых узлов. Тогда как в статье «Connected sums of knots do not admit purely cosmetic surgeries, arXiv:1909.05048 (2019)» Тао доказал упомянутую гипотезу для всех композиционных узлов с помощью анализа JSJ-разбиений перестроенных многообразий.
Нам удалось доказать гипотезу о декоративных перестройках по трехпучковым витым узлам с помощью коэффициентов полинома Конвея при члене 2-го порядка и инвариантов Лескопа без использования вышеупомянутых сложных теорий. При этом мы определили эти инварианты для трехпучковых витых узлов и обсудили отношение между ними.
Полученные результаты были опуликованны на тему «Cosmetic surgery conjecture for 3 strand pretzel knots» (https://doi.org/10.1142) в журнале «Journal of knot theory and its ramifications»(Vol. 32, No. 3, 2023).
