《대학에서는 사회주의강국건설에서 나서는 리론실천적, 과학기술적문제들을 원만히 해결하며 기초과학부문을 발전시키고 첨단과학기술분야를 개척하는데 중심을 두고 과학연구사업을 진행하여야 합니다.》
최근에 분수계미분방정식은 류체력학, 생명과학, 량자력학, 생태계리론등에서 나타나는 복잡한 비선형현상들을 모형화하는데서 효과적인 수단으로 되고있으며 그것에 대한 수학적연구도 깊이있게 진행되고있다.
우리는 다음과 같은 일반화된 분수계확산방정식의 초기값문제
를 연구하였다. 여기서 는 일반화된 캐푸토분수계미분연산자이다.
이 방정식은 현실세계에 여러가지 형태로 존재하는 이상확산현상을 효과적으로 설명한다. 이상확산현상은 인간의 생명활동을 비롯한 중요한 물리적과정들에서 관측되는것으로 하여 오늘날 학계의 커다란 관심을 모으고있다. 특히 이 방정식은 복잡계를 설명하는 강력한 리론적수단인 련속시간우연걸음리론으로부터 직접 유도된다. 선행연구에서는 인 경우에 초기조건으로서 횔데르련속성을 주고 우의 초기값문제의 풀이표시를 구하였다. 이때 얻어진 풀이는 공간변수에 관하여 2계련속미분가능하다. 물리적견지에서 가 x에 관하여 반드시 2계련속미분가능할 필요는 없다. 사실 우의 미분방정식이 유도될때 가 에 관하여 라쁠라스변환가능할뿐아니라 x에 관하여 푸리에변환가능하다는것만이 가정된다. 또한 선행연구에서는 이 방정식의 풀이의 점근거동에 관한 결과가 아직 해결되지 않았다는것을 지적하였다.
우리는 인 경우에 초기조건에 대한 약한 가정하에서 푸리에변환가능한 풀이의 존재성과 풀이의 점근거동을 연구하였다. 잘 알려진것처럼 편미분방정식을 연구하는데서 푸리에해석리론은 대단히 효과적인 수단으로 되고있다. 론문에서는 양그의 부등식을 비롯한 푸리에해석리론의 중요한 원리들을 효과적으로 적용하여 초기값문제의 풀이표시공식을 증명하였다. 또한 풀이의 유계성과 정값성과 같은 중요한 성질들과 여러가지 노름평가식들을 구하였다. 특히 우리가 얻은 점근거동에 관한 결과는 핵함수 의 특수한 경우들에 대하여 이미 선행문헌들에서 증명된 결과들과 완전히 일치한다.
우리의 연구결과는 SCI국제학술잡지 "Fractional Calculus & Applied Analysis"에 "Cauchy problem for general time fractional diffusion equation"라는 제목으로 출판되였다.
론문에서는 이상확산현상을 모형화하는데서 제기되는 일반화된 시간분수계확산방정식의 초기값문제의 풀이의 유일존재성과 풀이의 점근거동을 푸리에해석리론을 적용하여 해명하였다. 선행연구에서와 달리 이 론문에서는 초기조건에 대한 더 약한 가정과 비동차항이 추가된 일반적인 조건하에서 풀이의 존재성과 긴시간거동을 고찰하였다.
우리는 앞으로 일반화된 분수계확산방정식의 풀이의 성질들에 대한 연구사업을 더욱 심화시켜나갈것이다.
