《수학, 물리학, 화학, 생물학과 같은 기초과학부문에서 과학기술발전의 원리적, 방법론적기초를 다져나가면서 세계적인 연구성과들을 내놓아야 합니다.》
300여년전 1/2계도함수로부터 출발한 분수계미적분리론은 20세기 70년대에 이르러 만델브로트가 분형학설을 제기하고 리만-류빌분수계미적분을 분형매질에서의 브라운운동을 분석하고 연구하는데 리용함으로써 현대공학에서 많은 관심을 모으고 급속한 발전을 이룩하게 되였다. 특히 점탄성재료, 다공성매질에서의 분수계확산 및 진동문제, 리력현상, 유전체스펙트르 등을 해석하는 문제를 비롯하여 물리학, 력학, 화학 등 여러 응용분야들에서 분수계미분방정식들이 많이 리용되고있다.
1983년 다공성매질에서의 란류흐름해석을 위한 수학적모형으로 p-라쁠라스연산자를 가진 옹근수계미분방정식이 제기되였으며 이 모형에서의 옹근수계수의 도함수를 분수계도함수로 일반화하여 리론적으로 취급한 가치있는 연구결과들이 나오고있다. 원래의 수학적모형에 들어있는 도함수들이 1계도함수들인것으로 하여 분수계로 일반화하여 연구하는 경우에도 0과 1사이 또는 1과 2사이의 계수를 가진 분수계미분방정식을 연구하는것이 중요하다.
우선 p-라쁠라스연산자를 가진 단항분수계미분방정식에 대하여 여러점경계조건이 추가된 경우 풀이의 존재성을 증명하고 풀이를 구하기 위한 근사풀이법과 그 수렴성을 확립하였다. 근사풀이를 계산하는데서 리용되는 하르웨블레트연산행렬법은 구성이 단순하고 계산속도가 빠른것으로 하여 세계적으로 많이 리용되는 방법들중의 하나이다.
다음 비선형원천항이 특이성이 있는 경우 p-라쁠라스연산자를 가진 단항분수계미분방정식의 여러점경계값문제에 대하여 풀이의 존재성과 근사풀이를 구하기 위한 단조반복법을 연구하였다. 비선형원천항이 시간변수나 공간변수에 관하여 특이성을 가지는 경우의 미분방정식에 대한 연구는 특이성이 없는 보통의 경우에 대한 연구에 비하여 볼 때 복잡한 양상을 띠고있다.
현재 우리는 방정식에 분수계도함수항이 여러개 들어있는 경우의 p-라쁠라스다항분수계미분방정식의 풀이에 대하여 연구하고있다. 우리의 연구결과들은 이미 "Mediterranean Journal of Mathematics"와 "Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation"을 비롯한 여러건의 SCI급국제학술잡지들에 출판되였다.
앞으로 우리는 연구결과를 모호분수계미분방정식의 경우에로 더욱 확장시키며 이 내용을 여러가지 자연 및 사회현상들을 해석하고 예측하는데 응용하기 위한 연구사업을 심화시킬것이다.
