우리는 비등질비선형슈뢰딩거형방정식의 꼬쉬문제
여기서 k=1,2, b>0, σ>0이다.
비등질비선형슈뢰딩거형방정식은 비선형광학을 비롯한 물리학의 여러 분야에서 출현한다.
b=0인 경우는 지난 30여년간 광범히 연구된 고전적인 비선형슈뢰딩거형방정식이다.
고전적인 비선형슈뢰딩거형방정식의 연구에서는 기본적으로 베쏘브공간 또는 쏘볼레브공간론이 응용되였다. 그러나 베쏘브공간이나 쏘볼레브공간론은 준림계인 경우에만 비등질비선형슈뢰딩거형방정식의 연구에 응용될수 있다.
최근 선행연구 [Discrete Contin. Dyn. Syst. 41(11) (2021) 5409–5437]에서는 림계인 경우와 준림계인 경우에 쏘볼레브공간 Hs에서 국부적타당성을 증명하기 위한 새로운 방법을 제기하였다. 구체적으로 그들은 쏘볼레브-로렌쯔공간을 리용하였다. 그러나 그들은 s≤1인 경우만을 고찰하였다. 제한조건 s≤1은 그들이 얻은 로렌쯔공간에서의 분수계사슬법칙으로부터 생겼다.
이에 기초하여 우리는 쏘볼레브-로렌쯔공간에서 각이한 묻기들과 보간부등식을 비롯한 일부 성질들을 연구하였다. 특히 s≥0에 대하여 성립하는 일반화된 분수계사슬법칙을 얻었다. 이 결과에 기초하여 우리는 s≥0에 대하여 분수계쏘볼레브공간 Hs에서 비등질비선형슈뢰딩거형방정식의 국부적 및 대역적타당성을 증명할수 있는 통일적인 방법을 주었다.
2계인 경우에 대한 구체적인 결과는 잡지 《Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen》(Vol. 42 (2023), 403–433)에 《A note on the Hs-critical inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation》(https://doi.org/10.4171/ZAA/1745)의 제목으로 출판되였다.
그리고 4계인 경우의 결과는 잡지 《Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B》(Vol. 29 No.8 (2024) 3326-3345)에 《Sobolev-Lorentz spaces with an application to the inhomogeneous biharmonic NLS equation》(https://doi.org/10.3934/dcdsb.2024006)의 제목으로 출판되였다.
